Minitab 22 - Parameter-Schätzmethoden am Beispiel Weibull-Verteilung
- Überarbeitet am 5.4.2024
- Software: Minitab 22, 21, 20, 19, 18, 17
Verschiedene Schätzmethoden liefern unterschiedliche Ergebnisse für die Parameter einer zu schätzenden Verteilung. Die Parameterschätzung ist eine Prozedur, um die Parameter eines vorgegebenen Models zu bestimmen, um die zugrundeligenden Daten genaustmöglichst zu beschreiben. Dabei ist das Model bekannt. Bei der Lebensdaueranalyse ist dies standardmäßig die Weibull- Verteilung.
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Erläuterung
Verschiedene Schätzmethoden liefern unterschiedliche Ergebnisse für die Parameter einer zu schätzenden Verteilung. Die Parameterschätzung ist eine Prozedur, um die Parameter eines vorgegebenen Models zu bestimmen, um die zugrundeligenden Daten genaustmöglichst zu beschreiben. Dabei ist das Model bekannt. Bei der Lebensdaueranalyse ist dies standardmäßig die Weibull- Verteilung.
Die Weibull-Verteilung ist eine asymptotische Extremwertverteilung. Die zwei häufigsten Methoden zur Parameterschätzung sind die die Maximum Likelihood Methode (Maximum Likelihood Estimation, kurz MLE) und die Methode der kleinsten Quadrate. Letztere basiert auf einer linearen Regression auf transformierten Daten nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate, die unten näher beschrieben ist.
A: Maximum Likelihood Estimation:
Die Parameter werden aus den Daten durch Differenzieren so abgeleitet, dass die besten Parameter gefunden werden, die den vorliegenden Datensatz beschreiben. Die MLE Methode ist komplett unabhängig vom jeglicher Rangsortierung, obwohl das Wahrscheinlichkeitsnetz die Daten so darstellt. Hier hat die Darstellung der Daten nichts mit der Berechnung der Parameter gemeinsam. Der Newton-Raphson Algorithmus wird zur Maximum Likelihood Bestimmung in Minitab herangezogen (rekursive Methode zur Maximumbestimmung einer Funktion).
B: Kleinste Quadrate:
Mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsnetzes wird eine lineare Ausgleichsgerade im Sinne der linearen Regression bestimmt. Die Parameter der Verteilung werden dann anhand der Steigung und des y-Achsenabschnitts der Ausgleichsgeraden bestimmt. Die beste Anpassungslinie is diejeniege, die die geringste Summe an quadratischen Abweichungen liefert (LSXY-Schätzwerte). Die Verteilungsfunktion ist gegeben durch:
F(t)=1-e^(-(t/T)^b)
t = Zeit
T = charakteristische Lebensdauer
b = Formparameter
Zum Zeitpunkt t=T gilt, dass 1-1/e, also 63,2% aller Werte liegen. Logarithmieren und Umstellen der Gleichung ergibt
ln(ln(1/(1-F(t))))=b*ln(t)-b*ln(T)
Dies enstspricht der Darstellung y=mx+b, aus denen der Form- und Lageparameter mittels Regression ermittelt werden. Die Steigung ist der Formparameter der Gleichung und der Skalenparameter stellt die charakteristische Lebendauer dar.
Fazit
Die Regressionsmethode ist am besten für kleinere Datensätze geeignet und wenn die Anzahl der fehlenden Werte nicht zu groß ist. Die Maximum Likelihood Methode ist am besten für größere Datensätze geeignet, auch wenn die Daten in Intervallen vorliegen und ist exakter je größer die Datenmenge ist. Je nach Anwendung sollten mehr als 50 und bis zu 100 Punkten vorliegen. Die Wahl der Schätzmethoden (MLE oder Kleinste Quadrate) kann bei der Lebensdaueranalyse unter der Option "Schätzen" gewählt werden. Die Verwendung von LSE empfiehlt sich bei einer kleinen Stichprobe mit geringer Zensierung, andernfalls sollte die MLE Methode verwendet werden (stärkere Zenzierung). LSE und MLE haben jeweils eigene Stärken und können zusammen für verschiedene Teile der Analyse verwendet werden. Hinweis: Minitab verwendet als Standardeinstellung das Median-Rang-Verfahren nach Benard (siehe auch den Artikel Wahrscheinlichkeitsnetz - Median Rank Regression). Die Einstellung lässt sich per Menü umstellen unter Extras: Optionen: Einzelne Grafiken: Wahrscheinlichkeitsnetz.
Anmerkung
Das APS-Paket Nr. 782 ist ein Mintab-Beispiel zur Veranschaulichung.
Weitere Links
Parameterschätzung in der Verteilungsanalyse (Rechtszensierung)
Parameterschätzung in der Verteilungsanalyse (beliebige Zensierung)
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