Minitab 22 - Koeffizienten in einem allgemeinen vollfaktoriellen Versuchsplan

• Erstellt am 22.8.2012
• Überarbeitet am 29.4.2024
• Software: Minitab 22, 21, 20, 19, 18, 17

Wie werden in einem Allgemeinen Vollfaktoriellen Versuchsplan die Koeffizienten und Anpassungen für das Regressionsmodell berechnet?

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Erläuterung

Während der Analyse wird eine von der Angabe des Modells abhängige Versuchsplanmatrix berechnet, aus welcher dann zusammen mit der Antwortvariable die Koeffizienten berechnet werden. Im Anhang gehen wir darauf etwas detaillierter ein. Bei einem vollständigen Modell, welches alle Haupteffekte und Wechselwirkungen enthält, zeigen wir hier am Beispiel eines faktoriellen Versuchsplans mit 2 Faktoren und 3 Stufen, wie wir auf die Koeffizienten kommen. Anbei haben wir den Beispiel-Versuchsplan samt Antwortvariable abgebildet:

↓
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7






 
StdRfolge
Durchlaufreihenfolge
Punkttyp
Blöcke
A
B
Antwort






1
3
1
1
1
1
3
-7.08485






2
25
2
1
1
3
1
-9.09949






3
2
3
1
1
1
2
7.38554






4
7
4
1
1
3
1
-1.13773






5
13
5
1
1
2
1
1.34893






6
19
6
1
1
1
1
8.07235






7
24
7
1
1
2
3
-12.5049






8
1
8
1
1
1
1
2.18077






9
15
9
1
1
2
3
-8.00147






10
6
10
1
1
2
3
-1.76389






11
17
11
1
1
3
2
-0.341926






12
27
12
1
1
3
3
-12.1745






13
5
13
1
1
2
2
2.30066






14
12
14
1
1
1
3
8.17707






15
23
15
1
1
2
2
-1.56263






16
8
16
1
1
3
2
-7.82537






17
16
17
1
1
3
1
2.07941






18
20
18
1
1
1
2
7.63673






19
22
19
1
1
2
1
5.27809






20
18
20
1
1
3
3
-2.42239






21
4
21
1
1
2
1
10.0102






22
9
22
1
1
3
3
-11.0578






23
11
23
1
1
1
2
9.83011






24
21
24
1
1
1
3
-4.4339






25
10
25
1
1
1
1
11.2618






26
26
26
1
1
3
2
0.859826






27
14
27
1
1
2
2
2.98946

Wenn Sie den Versuchsplan analysieren, erhalten Sie dieses Ergebnis.

Die Koeffizienten, die in der Tabelle erscheinen, sind Koeffizienten für ein Regressionsmodell für die Antwortvariable. Dieses ist Zusammengesetzt aus den folgenden vier Untermodellen:

• Modell 1: A = {2,3}, B = {2,3}
• Modell 2: A = {1,3}, B = {2,3}
• Modell 3: A = {2,3}, B = {1,3}
• Modell 4: A = {1,3}, B = {1,3}.

Bildlich könnten Sie es so darstellen:

Die Koeffizienten sind jetzt folgenden Modellen zuzuordnen:

Konstante: Alle Modelle.

Haupteffekte

A 1: Modell 2 und 4
A 2: Modell 1 und 3

B 1: Modell 3 und 4
B 2: Modell 1 und 2

Wechselwirkungen

A 1 B 1: Modell 4
A 2 B 1: Modell 3
A 1 B 2: Modell 2
A 2 B 2: Modell 1.

Die ausgegebenen Koeffizienten könnten Sie so auf die obere Zeichnung auftragen:

Anmerkung

Die Regressionsgleichung zeigt neben den Koeffizienten für die Stufen 1 und 2 auch Koeffizienten für die Stufe 3 an. Weil diese hier die Referenzstufe ist, erscheinen diese nicht in der Tabelle der Koeffizienten, wenn Sie die Option Standardkoeffizienten in der Auswahlleiste Koeffizienten im Unterdialog Ergebnisse des Werkzeugs Faktoriellen Versuchsplan analysieren ausgewählt haben.

Wie kommen diese Werte zu Stande?

Dazu erst einmal ein Exkurs zu den zweistufigen Faktoriellen Versuchsplänen.

In einem vollständigen Versuchsplanmodell A, B, A*B mit zwei Stufen erhält der Wert mit der Kodierung -1 auch die Gewichtung -1, und der Wert mit der Kodierung +1 erhält die Gewichtung +1. Dann werden die stufenweise Mittelwerte

• Mean(Y)_A,-
• Mean(Y)_A,+
• Mean(Y)_B,-
• Mean(Y)_B,+
• Mean(Y)_A*B,-
• Mean(Y)_A*B,+

der Antwortvariablen gebildet und die Koeffizienten nach den Formeln

• Koef(A) = Mean(Y)_A,+ - Mean(Y)_A,-
• Koef(B) = Mean(Y)_B,+ - Mean(Y)_B,-
• Koef(A*B) = Mean(Y)_A*B,- - Mean(Y)_A*B,-

berechnet.

Sie könnten auch anders herangehen und gleich Spalten "Gewichtung(A)" und "Gewichtung(B)" mit den Gewichtungen erstellen und dann die Koeffizienten auf diese Weise berechnen:

• Koef(A) = MW(Gewichtung(A)*Y)
• Koef(B) = MW(Gewichtung(B)*Y)
• Koef(A*B) = MW(Gewichtung(A)*Gewichtung(B)*Y)

Anders ausgedrückt: Sie gewichten die Antwortvariable mit den Werten ±1 und nehmen dann den Mittelwert, um den entsprechenden Koeffizienten zu erhalten. Dies können Sie jetzt auf Faktoren mit mehr als 2 Stufen verallgemeinern. Betrachten wir einen Versuchsplan mit zwei Faktoren A₁ und A₂ mit k₁ und k₂ Stufen. Faktor A₁ hat jetzt k₁-1 Freiheitsgrade, Faktor A₂ hat k₂-1 Freiheitsgrade, und der
Wechselwirkungsterm hat (k₁-1)*(k₂-1) Freiheitsgrade.

Wir nehmen jetzt Faktor A₁ mit Stufe j, 1≤j≤k₁-1. Die Gewichtungsspalte würde hier den Wert k₁-1 an der Stelle mit der Kodierung j und -1 an den anderen Stellen haben.

In dem Beispiel zu dieser FAQ mit k₁=k₂=3 sähe die Gewichtungsspalte für den Faktor A und der Stufe 1 so aus:

↓
C5
C6
C7
C11






 
A
B
Antwort
Gewichtung (A, 1)






1
1
3
-7.08485
2






2
3
1
-9.09949
-1






3
1
2
7.38554
2






4
3
1
-1.13773
-1






5
2
1
1.34893
-1






6
1
1
8.07235
2






7
2
3
-12.5049
-1






8
1
1
2.18077
2






9
2
3
-8.00147
-1






10
2
3
-1.76389
-1






11
3
2
-0.341926
-1






12
3
3
-12.1745
-1






13
2
2
2.30066
-1






14
1
3
8.17707
2






15
2
2
-1.56263
-1






16
3
2
-7.82537
-1






17
3
1
2.07941
-1






18
1
2
7.63673
2






19
2
1
5.27809
-1






20
3
3
-2.42239
-1






21
2
1
10.0102
-1






22
3
3
-11.0578
-1






23
1
2
9.83011
2






24
1
3
-4.4339
2






25
1
1
11.2618
2






26
3
2
0.859826
-1






27
2
2
2.98946
-1

Der Koeffizient Koef(A,1) wird jetzt berechnet, indem Sie die Spalten Antwort und Gewichtung (A,1) miteinander multiplizieren und den Mittelwert aus dem Ergebnis berechnen:

↓
C11
C12
C13






 
Gewichtung (A, 1)
Gewichtung(A,1)*Antwort
Koef A, 1






1
2
-14.1697
4.78062






2
-1
9.09949
 






3
2
14.7711
 






4
-1
1.13773
 






5
-1
-1.34893
 






6
2
16.1447
 






7
-1
12.5049
 






8
2
4.36154
 






9
-1
8.00147
 






10
-1
1.76389
 






11
-1
0.341926
 






12
-1
12.1745
 






13
-1
-2.30066
 






14
2
16.3541
 






15
-1
1.56263
 






16
-1
7.82537
 






17
-1
-2.07941
 






18
2
15.2735
 






19
-1
-5.27809
 






20
-1
2.42239
 






21
-1
-10.0102
 






22
-1
11.0578
 






23
2
19.6602
 






24
2
-8.86779
 






25
2
22.5235
 






26
-1
-0.859826
 






27
-1
-2.98946
 

Anhang

Im Anhang beschreiben wir kurz, wie mit Hilfe der berechneten Koeffizienten und der sogenannten Versuchsplanmatrix das Modell berechnet wird. Im zweiten Abschnitt gehen wir auf die Berechnung der Koeffizienten im Falle von reduzierten Modellen ein. Auch hier wird die sogenannte Versuchsplanmatrix verwendet. Die Versuchsplanmatrix ist abhängig vom angegebenen Modell.

(1) Berechnung der Anpassungen

Während der Analyse des Versuchsplans können Sie die Versuchsplanmatrix und die Modellkoeffizienten ins Arbeitsblatt speichern lassen. Die Koeffizienten erscheinen als Spalte im Arbeitsblatt. Die Versuchsplanmatrix können Sie sich über Daten: Daten anzeigen im Sessionfenster anzeigen lassen und über Daten: Kopieren: Matrix in Spalten in Spalten des Arbeitsblattes kopieren.

Die Spalte Koeffizienten hat in unserem Beispiel 9 Zeilen, und die Versuchsplanmatrix hat 9 Spalten.

Die Anpassungen werden jetzt so berechnet:

Anpassungen = 'XMAT1_1'*'Koeffizienten'[1]
+'XMAT1_2'*'Koeffizienten'[2]
+'XMAT1_3'*'Koeffizienten'[3]
+'XMAT1_4' *'Koeffizienten'[4]
+'XMAT1_5'*'Koeffizienten'[5]
+'XMAT1_6'*'Koeffizienten'[6]
+'XMAT1_7'*'Koeffizienten'[7]
+'XMAT1_8'*'Koeffizienten'[8]
+'XMAT1_9'*'Koeffizienten'[9]

↓
C3
C5
C6
C7
C8
C9
C10
C11
C12
C13
C15






 
Koeffizienten
XMAT1_1
XMAT1_2
XMAT1_3
XMAT1_4
XMAT1_5
XMAT1_6
XMAT1_7
XMAT1_8
XMAT1_9
Anpassungen






1
-0.00000
1
1
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1.11389






2
4.78062
1
-1
-1
1
0
-1
0
-1
0
-2.71927






3
-0.21173
1
1
0
0
1
0
1
0
0
8.28413






4
3.33270
1
-1
-1
1
0
-1
0
-1
0
-2.71927






5
2.36360
1
0
1
1
0
0
0
1
0
5.54574






6
-0.94169
1
1
0
1
0
1
0
0
0
7.17163






7
1.13991
1
0
1
-1
-1
0
0
-1
-1
-7.42342






8
2.42477
1
1
0
1
0
1
0
0
0
7.17163






9
-0.90937
1
0
1
-1
-1
0
0
-1
-1
-7.42342






10
 
1
0
1
-1
-1
0
0
-1
-1
-7.42342






11
 
1
-1
-1
0
1
0
-1
0
-1
-2.43582






12
 
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-8.55158






13
 
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1.2425






14
 
1
1
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1.11389






15
 
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1.2425






16
 
1
-1
-1
0
1
0
-1
0
-1
-2.43582






17
 
1
-1
-1
1
0
-1
0
-1
0
-2.71927






18
 
1
1
0
0
1
0
1
0
0
8.28413






19
 
1
0
1
1
0
0
0
1
0
5.54574






20
 
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-8.55158






21
 
1
0
1
1
0
0
0
1
0
5.54574






22
 
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-8.55158






23
 
1
1
0
0
1
0
1
0
0
8.28413






24
 
1
1
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1.11389






25
 
1
1
0
1
0
1
0
0
0
7.17163






26
 
1
-1
-1
0
1
0
-1
0
-1
-2.43582






27
 
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1.2425

(2) Berechnung der Koeffizienten bei nicht notwendigerweise vollständigen Modellen unter Verwendung der Versuchsplanmatrix

Zur besseren Nachvollziehbarkeit haben wir hier die Versuchsplanmatrix mit Hilfe des Sessionbefehls Name in X genannt. In Minitab gibt es unter Berechnen: Matrizen die Möglichkeit, mit Matrizen zu rechnen. Wir gehen bei der Berechnung der Koeffizienten so vor, wie es das folgende Bildschirmvideo zeigt.

Ihr Servicepartner die ADDITIVE GmbH stellt allen ADDITIVE Kunden, die einen ADDITIVE Professional Support gekauft haben kostenfrei ein Minitab-Projekt zur Verfügung, in welchem das Beispiel zu dieser FAQ abgespeichert ist.

Siehe auch

Determinante von X^t*X
Spur von X^t*X oder (X^t*X)^-1