Minitab 22 - Regression - Berechnung der Konfidenzintervalle für die Koeffizienten

• Erstellt am 9.2.2024
• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software: Minitab 22, 21

Im Unterdialog Ergebnisse des Dialogs Regressionsmodell anpassen kann ich die Darstellung Ergebnisse mit Erweiterten Tabellen auswählen. Dadurch werden auch Konfidenzintervalle für die Koeffizienten im Ausgabefenster angezeigt. Wie werden diese berechnet?

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Erläuterung

Das Konfidenzintervall für einen Koeffizienten wird nach der Formel

Koeffizient ± t_α SE_Koeffizient

berechnet.

• t_α ist hier der kritische t-Wert, also das 100*(1-α/2)%-Perzentil der t-Verteilung mit DF_Fehler Freiheitsgraden.
• α ist das Signifikanzniveau. 100*(1-α) ist das Konfidenzniveau und die Wahrscheinlichkeit, dass der t-Wert, wenn aus einer t-Verteilung entnommen, zwischen dem 100*α/2%- und dem 100*(1-α/2)%-Perzentil der t-Verteilung liegt.
• DF_Fehler ist die Anzahl der Freiheitsgrade für den Fehlerterm.
• SE_Koeffizient ist der Standardfehler des Koeffizienten.

Parallelen zum t-Test bei einer Stichprobe

Beim t-Test bei einer Stichprobe ist die Formel für das zweiseitige Konfidenzintervall für den Mittelwert

Koeffizient ± t_α$\frac{s}{\sqrt{n}}$

oder, anders ausgedrückt,

$\stackrel{-}{x}$ ± t_α SE_{$\stackrel{-}{x}$}

• $\stackrel{-}{x}$ ist der Mittelwert. Wenn nur die Konstante nach der Methode der kleinsten Quadrate an den Datensatz angepasst wird, ist der Koeffizient für den konstanten Term und auch jeder einzelne angepasste Wert ${\tilde{x}}_i$ genau $\stackrel{-}{x}$.
• SE_{$\stackrel{-}{x}$} = $\frac{s}{\sqrt{n}}$ ist der Standardfehler des Mittelwerts und auch der Standardfehler des konstanten Terms, wenn das Modell nur aus dem konstanten Term besteht.
• s ist die empirische Standardabweichung $\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\stackrel{-}{x}\right)}^2}$. Wenn nur die Konstante nach der Methode der kleinsten Quadrate an den Datensatz angepasst wird, ist DF_Fehler = n-1 die Residuenstandardabweichung $s_{\mathrm{Res}}=\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{DF}}_{\mathrm{Fehler}}}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-{\tilde{x}}_i\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\stackrel{-}{x}\right)}^2}$ genau s.
• $x_i$ ist ein einzelner Wert im Datensatz.
• n ist der Stichprobenumfang. Gleichzeitig ist $\left(\begin{array}{c}x\end{array}\right)$ das Ergebnis des Matrixprodukts $X^{T}X$, wenn nur die Konstante nach der Methode der kleinsten Quadrate an den Datensatz angepasst wird, weil die Designmatrix $X$ in diesem Fall nur aus einer einzelnen Spalte besteht, die n mal den Wert 1 enthält.
• Allgemeiner ist die Spalte der Standardfehler der Koeffizienten eines Regressionsmodells die Diagonale der Matrix ${\left(X^{T}X\right)}^{-1}{s}_{\mathrm{Res}}$.

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