Minitab 22 - Beispiele für Simulationsmakros: Annäherung der Konstanten d2(n) und C4(n) für die erwartungstreue Schätzung

• Erstellt am 14.9.2022
• Überarbeitet am 30.4.2024
• Software: Minitab 22, 21

Ich will in Form einer Simulation nachvollziehen, warum

• die Zusammenfassung

  $S_{\mathrm{pooled}}=\sqrt{\frac{1}{40}\sum _{i=1}^{40}{s}_i^2}$

  der Teilgruppenstandardabweichungen in einer Prozessfähigkeitsanalyse mit 40 Teilgruppen der Größe von 5  um die Konstante $C_4\left(\left(5-1\right)*40+1\right)=C_4\left(161\right)$

• der Mittelwert der Teilgruppenstandardabweichungen

  $S_{\mathrm{quer}}=\frac{1}{40}\sum _{i=1}^{40}{s}_i$

  in einer Prozessfähigkeitsanalyse mit 40 Teilgruppen der Größe von 5  um die Konstante $C_4\left(5\right)$

• der Mittelwert

  $R_{\mathrm{quer}}=\frac{1}{40}\sum _{i=1}^{40}{r}_i$

  der Teilgruppenspannweite in einer Prozessfähigkeitsanalyse mit 40 Teilgruppen der Größe von 5  um die Konstante $d_2\left(5\right)$

• der Mittelwert

  ${\mathrm{MR}}_{\mathrm{quer}}=\frac{1}{199}\sum _{i=1}^{199}{r}_i$

  der gleitenden Spannweite der Länge 2 in einer Prozessfähigkeitsanalyse mit Stichprobenumfang 200 und Teilgruppengröße 1 um die Konstante $d_2\left(2\right)$

korrigiert werden muss, um einen erwartungstreuen Schätzer für die innere Standardabweichung zu erhalten. Bei Teilgruppengröße > 1 ist die innere Standardabweichung um die Teilgruppenmittelwerte bereinigt. Gibt es ein Makro, mit dem ich das tun kann?

Das entsprechende APS-Paket ist über unseren ADDITIVE Professional Service erhältlich. Um das Paket zu erhalten, kontaktieren Sie unseren Support per E-Mail an Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein. oder per Telefon unter +49 6172 5905 20 jeweils unter Angabe der APS-Paketnummer 1052.

Erläuterung

Hintergrund

Die von Minitab verwendeten Konstanten für die erwartungstreue Schätzung basieren auf dem Buch

D. J. Wheeler and D. S. Chambers. (1992). Understanding Statistical Process Control, Second Edition, SPC Press, Inc.

Man könnte sich die Schätzung der Standardabweichung durch die Werte $\frac{S_{\mathrm{pooled}}}{C_4\left(\left(n-1\right)*g+1\right)}$, $\frac{S_{\mathrm{quer}}}{C_4\left(n\right)}$, $\frac{R_{\mathrm{quer}}}{d_2\left(n\right)}$ beziehungsweise $\frac{{\mathrm{MR}}_{\mathrm{quer}}}{d_2\left(w\right)}$ grob so vorstellen, dass die Werte $S_{\mathrm{pooled}}$, $S_{\mathrm{quer}}$, $R_{\mathrm{quer}}$ und ${\mathrm{MR}}_{\mathrm{quer}}$ für große Stichprobenumfänge näherungsweise proportional zur (inneren) Standardabweichung sein dürften.

Die jeweilige Konstante für die erwartungstreue Schätzung müsste beispielsweise in der $R_{\mathrm{quer}}$-Methode so gewählt sein, dass im Mittel

$R_{\mathrm{quer}}=d_2\left(n\right)*{\sigma }_{\mathrm{innerhalb}}$

gilt, insbesondere weil ein erwartungstreuer Schätzer für einen Parameter diesen Parameter als Erwartungswert besitzt. Wenn die Grundgesamtheit die wahre innere Standardabweichung ${\sigma }_{\mathrm{innerhalb}}=1$ besitzt, gilt also im Mittel $R_{\mathrm{quer}}=d_2\left(n\right)$.

Das APS-Paket Nr. 1052 besteht aus dem lokalen Makro ADD_sup_Prozessfaehigkeit_Konstanten_Erwartungstreu_Simulation. Dieses erstellt,

• wenn es mit dem Unterbefehl MRQuer aufgerufen wird, für

  • einen Stichprobenumfang n (const.1)
  • eine Länge w (const.2) der gleitenden Spannweite zwischen 2 und 50 und
  • eine Anzahl anzit (const.3) der Iterationen

  in jeder Iteration n standardnormalverteilte Zufallszahlen (Mittelwert 0, Standardabweichung 1), berechnet den Mittelwert der gleitenden Spannweite der Länge w (kurz MR-quer)

• wenn es mit dem Unterbefehl SPooled, SQuer oder RQuer aufgerufen wird, für

  • eine Teilgruppengröße ngrp (const.1)
  • eine Anzahl anzgrp (const.2) an Teilgruppen und
  • eine Anzahl anzit (const.3) der Iterationen

  in jeder Iteration n = ngrp*anzgrp in anzgrp Teilgruppen mit je ngrp Werten unterteilte standardnormalverteilte Zufallszahlen (Mittelwert 0, Standardabweichung 1) und berechnet

  • im Fall des Unterbefehls SPooled die noch nicht erwartungstreu korrigierte Zusammengefasste Standardabweichung (kurz S-pooled)
  • im Fall des Unterbefehls SQuer den Mittelwert der anzgrp Teilgruppenstandardabweichungen (kurz S-quer)
  • im Fall des Unterbefehls RQuer den Mittelwert der anzgrp Teilgruppenspannweiten (kurz R-quer)

Anschließend stellt es die MR-quer- bzw. S-pooled- bzw. S-quer- bzw. R-quer-Werte aller Iterationen in einem Histogramm dar, zusammen einer roten Referenzlinie an deren Mittelwert und zum Vergleich einer blauen Referenzlinie am Wert

• d2(w) im Fall des Unterbefehls MRQuer.
• C4((ngrp-1)*anzgrp+1) im Fall des Unterbefehls SPooled.
• C4(ngrp) im Fall des Unterbefehls SQuer.
• d2(ngrp) im Fall des Unterbefehls RQuer.

Die Idee ist, dass die beiden Referenzlinien bei vielen Iterationen nahe beieinander liegen müssten. Bitte legen Sie das Makro in dem Verzeichnis ab, dass Sie in Minitab unter Datei: Optionen als Speicherort für Makros festgelegt haben.

Beispiel 1

Die Simulation soll 50000 Iterationen mit je 100 Zufallszahlen enthalten, und die Konstante d2(2) für die erwartungstreue Schätzung soll mit dem Mittelwert der Mittelwerte der gleitenden Spannweiten der Iterationen approximiert werden.

Der Befehl für den Makroaufruf ist

%ADD_sup_Prozessfaehigkeit_Konstanten_Erwartungstreu_Simulation 100 2 50000;
  MRQuer.

Beispiel 2

Die Simulation soll 50000 Iterationen mit je 5*40 Zufallszahlen (40 Teilgruppen mit je 5 Werten) enthalten, und die Konstante C4(5) für die erwartungstreue Schätzung soll mit dem Mittelwert der S-quer-Werte approximiert werden.

Der Befehl für den Makroaufruf ist

%ADD_sup_Prozessfaehigkeit_Konstanten_Erwartungstreu_Simulation 5 40 50000;
  SQuer.

Dieses Makro ist ein Beispiel für die Automatisierungsmöglichkeiten für Minitab. Trotz aller Sorgfalt übernehmen wir keine Gewährleistung für die Richtigkeit der Berechnungen und Ergebnisse.