Origin 2019 - Berechnungsgrundlage für die Kurtosis

• Überarbeitet am 3.12.2018
• Software: Origin 2019, 2018b, 2018, 2017

Unter Statistik: Deskriptive Statistik: Spaltenstatistik können in Origin 2019 verschiedene Eigenschaften einer Datenspalte berechnet werden, unter anderem verschiedene Momente. Eines dieser Momente ist die Kurtosis. Nach welcher Berechnungsgrundlage wird die Kurtosis berechnet?

Erläuterung

Die Kurtosis (auch Wölbung oder Exzess genannt) ist ein Maß für die relative "Flachheit" einer Verteilung. Sie beschreibt die Abweichung des Verlaufs der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung gegenüber einer Normalverteilung. Mit anderen Worten: die Kurtosis ist ein Parameter einer Häufigkeitsverteilung, der angibt, ob eine Verteilung stärker "gewölbt" ist als die Normalverteilung.

• Bei einer symmetrischen Verteilung, wie etwa der Normalverteilung, ist der Wert der Kurtosis gleich 0.
• Eine positive Kurtosis zeigt eine spitz zulaufende Verteilung an, diese wird dann leptokurtisch genannt. Ein Beispiel hierfür ist die t-Verteilung.
• Verläuft die Verteilung flach, so wird sie platykurtisch genannt und hat eine negative Kurtosis.
• Hat eine Verteilung dieselbe Kurtosis wie die Normalverteilung, handelt es sich um eine mesokurtische Verteilung.

Origin 2017 verwendet zur Berechnung der Kurtosis die Formel

$\frac{n\left(n+1\right)}{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{x_i-{\displaystyle \overline{x}}}{s}\right)}^4-\frac{3{\left(n-1\right)}^2}{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}$

Hier sind

• $n$ : Stichprobenumfang

• $\overline{x}$: Stichprobenmittelwert, das heißt

  $\overline{x}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle n}}\sum _{i=1}^n{x}_i$

• $s$: Standardabweichung, das heißt

  $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}$