Minitab 22 - Prozessfähigkeitsanalyse mit nichtnormalverteilten Daten

• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software¹ : Minitab 22, 21, 20, 19, 18, 17

In diesem Artikel wird auf die Unterschiede in der Berechnung zwischen der ISO-Methode, der z-Werte-Methode² und der verteilungsfreien Methode für nicht normalverteilte Daten eingegangen.

(1) ISO-Methode für die Prozessfähigkeitsanalyse (Nicht-Normalverteilung)

Dies ist eine von zwei Methoden innerhalb Minitab, mit denen die Prozessfähigkeitsstatistiken für Prozesse mit Nicht-Normalverteilung berechnet werden können. Die andere Option ist die z-Werte-Methode³. Mit dieser Methode, die von der International Organization for Standardization (ISO) empfohlen wird, werden die Prozessfähigkeitsstatistiken mit dem 0,135%-, dem 50%- und dem 99,865%-Perzentil der Verteilung berechnet, die Sie zum Modellieren der Daten angeben. Der Anteil der Datenverteilung zwischen dem 0,135%- und dem 99,865%-Perzentil entspricht der 6σ-Streubreite, die in der Prozessfähigkeitsanalyse für normalverteilte Daten berechnet wurde.

Mit der ISO-Methode werden die Prozessfähigkeitsstatistiken wie folgt berechnet:

Formeln

$\begin{array}{ccc}Pp& =& \frac{OSG-USG}{X_{99,865\%}-X_{0,135\%}}\\ PPL& =& \frac{X_{50\%}-USG}{X_{50\%}-X_{0,135\%}}\\ PPU& =& \frac{OSG-X_{50\%}}{X_{99,865\%}-X_{50\%}}\\ Ppk& =& Min(PPL,PPU)\end{array}$

Erklärungen

(2) z-Werte-Methode

Minitab berechnet den Anteil der Beobachtungen, die unterhalb der unteren Spezifikationsgrenze liegen, sowie den Anteil der Beobachtungen, der oberhalb der oberen Spezifikationsgrenze liegen.
Minitab berechnet die inverse Verteilungsfunktion (Quantilfunktion) dieser beiden Anteile für die Standardnormalverteilung und kennzeichnet diese mit Z_USG bzw. Z_OSG.

$\begin{array}{ccc}Pp& =& \frac{Z_{OSG}-Z_{USG}}{6}\\ PPL& =& \frac{-Z_{USG}}{3}\\ PPU& =& \frac{Z_{OSG}}{3}\\ Ppk& =& Min(PPL,PPU)\end{array}$

Der Aufbau der Formeln für die z-Werte-Methode bedingt, dass mit dieser Methode der Prozessfähigkeitsindex Pp nicht berechnet werden kann, wenn die obere oder untere Spezifikationsgrenze außerhalb Definitionsbereichs der zum Modellieren der Daten gewählten Verteilung liegt. In diesem Fall würde der Prozessfähigkeitsindex Ppk auf die gleiche Weise berechnet, als wenn die entsprechende Spezifikationsgrenze nicht eingetragen wäre.

Als Voreinstellung ist ab Minitab 17.3.1 die z-Werte-Methode vorkonfiguriert.⁴ Die Standardeinstellung kann unter

Datei: Optionen: Regelkarten und Qualitätswerkzeuge: Prozessfähigkeitsanalyse⁵

abgeändert werden. Im rechten Panel kann unter Nichtnormale Statistiken zur Prozessfähigkeit zwischen zwei Optionen gewählt werden:

ISO-Methode: Aktivieren Sie diese Option, um die Prozessfähigkeitsstatistiken mit der ISO-Methode zu berechnen.⁶

z-Werte-Methode: Aktivieren Sie diese Option, um die Prozessfähigkeitsstatistiken mit der z-Werte-Methode zu berechnen (Standardeinstellung ab Minitab 17.3.1).

(3) Alternativen zur verteilungsfreien Methode, wenn keine der von Minitab angebotenen Verteilungen in Frage kommt

Die ADDITIVE GmbH bietet den Kunden mit ADDITIVE Professional Service (APS)-Vertrag verschiedene Minitools und Makros für Prozessfähigkeitsanalysen an, wenn keine der von Minitab angebotenen Verteilungen in Frage kommt:

Minitool für Prozessfähigkeitsanalysen mit Betragsverteilung (erster und zweiter Art)

Minitool für Prozessfähigkeitsanalysen mit Mischverteilung

Makro für Analysen mit Kerndichteschätzer (Prozessfähigkeitsanalyse, Einzelwertkarte)

(4) Verteilungsfreie Berechnung der Prozessfähigkeitsindizes

Fazit:

Grundsätzlich sollte man beim Vorliegen von nicht normalverteilten Daten eruieren, was die Ursache für die Nicht-Normalverteilung sein könnte. Oftmals kann dies einfach durch das Vorliegen von einer Gruppe von Ausreißern begründet sein, in andern Fällen existiert etwa eine Teilgruppe von Daten, die zu einer inhomogenen Mischverteilung führt.

Verwenden Sie

• die ISO-Methode (1), wenn Sie ein zugrundeliegendes nicht normalverteiltes Modell zur Beschreibung Ihrer Daten identifizieren konnten (per Menü unter Statistik: Qualitätswerkzeuge: Identifikation der Verteilung). Gegebenfalls können Sie eine Box-Cox-Transformation oder Johnson-Transformation verwenden, um die Daten so zu transformieren, dass diese mit einer Normalverteilung approximiert werden können. Nach der Transformation muss aber immer überprüft werden, ob danach eine Normalverteilung tatsächlich vorliegt, d.h., ob die Transformation erfolgreich war.
• die z-Werte-Methode / Minitab-Methode (2), wenn Sie die Ihre Prozessfähigkeitsindizes basierend auf einer standardisierten Normalverteilung ermitteln wollen.
• die verteilungsfreie Perzentilmethode (3), wenn die Daten zu keinem verfügbaren Verteilungsmodell und keiner der verfügbaren Transformationen passen.

Anmerkung zu den Transformationen

Die Box-Cox-Transformation sucht, wenn kein fester Wert für λ festgelegt wurde, nach dem Wert λ, der für den transformierten Datensatz y^λ den höchsten p-Wert beim anschließenden Test auf Normalverteilung liefert. Im Dialogfeld wird hierzu jedoch kein Signifikanzniveau festgelegt, sodass die transformierten Daten nicht notwendigerweise normalverteilt sind.

Bei der Johnson-Transformation wird dahingegen ein Signifikanzniveau vom User vorgegeben. Die Transformation wird genau dann durchgeführt, wenn

(a) der p-Wert für den Normalverteilungstest bei den Original-Daten unterhalb dieses Signifikanzniveaus liegt und
(b) eine Transformation gefunden wird, bei dem der p-Wert für den Normalverteilungstest der transformierten Daten oberhalb dieses Signifikanzniveaus liegt.

Weitere Links

Regelkarte für nicht normalverteilte Daten
Prozessfähigkeit (Nicht Normal) - Warum wird mir der Pp-Wert nicht angezeigt, obwohl ich beide Spezifikationsgrenzen angegeben habe?
Pearson-Karte
Einzelwertkarte für Nicht-Normalverteilungen
SPC-Erweiterungen für die Prozessfähigkeit mit Betragsverteilung 1. und 2. Art und mit Mischverteilung
Makro für Analysen mit Kerndichteschätzer (Prozessfähigkeitsanalyse, Einzelwertkarte)

1Wenn Sie Minitab 18, oder 17 einsetzen, bitte beachten Sie die Hinweise in den Fußnoten.
2bis Minitab 17.2.1 Minitab-Methode genannt
3bis Minitab 17.2.1: Minitab-Methode
4Bis Minitab 17.2.1 war die ISO-Methode die Standardeinstellung.
5bis Minitab 18: Extras: Optionen: Regelkarten und Qualitätswerkzeuge: Prozessfähigkeitsanalyse
6Standardeinstellung bis Minitab 17.2.1