Minitab 22 - Toleranzintervalle - Warum sind Akzeptable Höchstprozentsätze der Grundgesamtheit im Intervall und Stichprobenumfänge nicht von der Standardabweichung abhängig?

• Erstellt am 21.11.2019
• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software: Minitab 22, 21, 20, 19

Über das Werkzeug Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang: Toleranzintervalle kann ich

• für vorgegebene Akzeptable Höchstprozentsätze der Grundgesamtheit im Intervall (${\mathrm{p}}^{*}$) Stichprobenumfänge schätzen oder umgekehrt
• für vorgegebene Stichprobenumfänge Akzeptable Höchstprozentsätze der Grundgesamtheit im Intervall (${\mathrm{p}}^{*}$) schätzen

Warum muss ich nicht wie bei einigen anderen Werkzeugen aus dem Menü Statistik: Trennschärfe und Stichprobenumfang eine Standardabweichung vorgeben?

Erläuterung

Wir versuchen in diesem Artikel unsere Argumentation auf Eigenschaften der Standardnormalverteilung zurückzuführen.

• Sei $\mathrm{X}$ eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert $\mathrm{\mu }$ und Standardabweichung $\mathrm{\sigma }$. Dann ist $\mathrm{Y}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{\mu }}{\mathrm{\sigma }}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable (Erwartungswert 0, Standardabweichung 1).
• Jede normalverteilte Zufallsvariable kann daher linear in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable überführt werden.
• Wird für eine Zufallsvariable ein Mittelwert von exakt $\overline{\mathrm{x}}=0$ und $\mathrm{s}=1$ geschätzt, was der Standardnormalverteilung entspricht, so ergibt sich ein $\mathrm{p}\%$-Toleranzintervall gleich
  
  $]-\mathrm{k},\mathrm{k}[$
  
  für den entsprechenden Toleranzfaktor k. Auf die Toleranzfaktoren geht der Artikel k-Faktoren ein.
• Die Linearität überträgt sich auf die Berechnung des Toleranzintervalls: Für eine allgemeine normalverteilte Zufallsvariable, bei denen ein Mittelwert $\overline{\mathrm{x}}$ und eine empirische Standardabweichung s geschätzt wird, wird das Toleranzintervall entsprechend als
  
  $]\overline{\mathrm{x}}-\mathrm{k}*\mathrm{s},\overline{\mathrm{x}}+\mathrm{k}*\mathrm{s}[$
  
  berechnet.
• Was bedeutet diese Linearität also? Egal welche Schätzer $\overline{\mathrm{x}}$ und $\mathrm{s}$ sie für eine normalverteilte Zufallsvariable geschätzt werden, das $\mathrm{p}\%$-Toleranzintervall mit Konfidenzniveau 1-α kann linear in ein $\mathrm{p}\%$-Toleranzintervall mit Konfidenzniveau $1-\mathrm{\alpha }$ für 1 und 0 überführt zum gleichen Stichprobenumfang überführt werden werden.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Toleranzintervall höchstens ${\mathrm{p}}^{*}\%$ der Grundgesamtheit des entsprechenden Datensatzes umfasst, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Toleranzintervall höchstens ${\mathrm{p}}^{*}\%$ der Grundgesamtheit zum transformierten Datensatzes umfasst, weil diese Grundgesamtheiten linear ineinander überführt werden.
• Daraus ergibt sich, dass die Berechnungen der Stichprobenumfänge beziehungsweise Akzeptablen Höchstprozentsätze im Intervall (${\mathrm{p}}^{*}$) nicht von der Standardabweichung abhängig sind, da diese den linearen Koeffizienten in diesen Beziehungen darstellt.