Minitab 22 - Versuchsplanung (DOE): Kodierte und nicht kodierte Einheiten

• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software: Minitab 22, 21, 20, 19, 18, 17

Warum berechnet Minitab bei der Versuchsplanung für kodierte und nicht kodierte Einheiten manchmal verschiedene Ergebnisse? Welches Ergebnis ist dann das Richtige?

Erläuterung

Minitab bietet die Möglichkeit, Versuchspläne mit kodierten und nicht kodierten Einheiten zu erstellen. Hierbei können Sie den Faktorstufen tatsächliche Werte zuordnen.

Beispiel: Bei einem faktoriellen Versuchsplan, in dem beispielsweise der Faktor Druck vorkommt, können Sie für -1 und 1 (kodierte Einheiten) auch die tatsächlichen Einstellgrößen 20 und 42 pa (nicht kodierte Einheiten) verwenden.

Es kann vorkommen, dass Minitab bei kodierten Einheiten andere Ergebnisse anzeigt als bei nicht kodierten Einheiten. Dies liegt nicht an der Software, sondern an den verschiedenen Bedingungen, die an einen Versuchsplan geknüpft sind.

Wann verwende ich kodierte oder nicht kodierte Einheiten?

Wenn Sie kodierte Einheiten verwenden, muss der Versuchsplan nahezu orthogonal sein (es besteht höchstens eine schwache Korrelation zwischen den quadratischen Termen).
Verwenden Sie nicht kodierte Einheiten, darf eine starke Beziehung zwischen den quadratischen Thermen bestehen.

Ein weiterer Grund für verschiedene Ergebnisse (speziell bei den Irrtumswahrscheinlichkeiten) zwischen kodierten und nicht kodierten Einheiten können die verschiedenen Spannweiten der Faktoren sein. Angenommen, Sie verwenden kodierte Einheiten und haben einen Faktor mit einer Spannweite von 1 bis 5 sowie weitere mit einer wesentlich größeren Spannweite, beispielsweise mit einer Spannweite von 10 bis 90. Dann benötigen Sie für den "kleineren Faktor" einen wesentlich größeren Koeffizienten, um einen ähnlichen Effekt zu erhalten. Daraus kann sich jedoch wieder ein größerer Standardfehler (SE) einstellen, so dass es relativ schwierig wird, die Irrtumswahrscheinlichkeit zu interpretieren.

Der Standardfehler wird wie folgt berechnet: Wenn X die Versuchsplanmatrix ist, dann sind die Standardfehler die Quadratwurzel der Diagonalelemente der Matrix MSE*(X^t X)^-1. X^t ist dabei die transponierte Versuchsplanmatrix. Bilden Sie das Matrixprodukt aus X und X^t und invertieren Sie dieses. Multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit dem MSE (Mean squared error, auf Deutsch: Mittlerer quadratischer Fehler). Bitte beachten Sie, dass der MSE für kodierte und nicht kodierte Einheiten gleich ist.

Die kodierten Daten sind zentriert (die Summe einer Spalte ist Null), die Spalten von X sind nahezu alle orthogonal und die Spannweite der einzelnen Faktoren ist gleich groß.
Bei nicht kodierten Daten treffen diese Bedingungen meistens nicht vollständig zu. Dies ist auch der Grund dafür, warum Statistiker in den meisten Fällen die Versuchsplanung mit kodierten Einheiten bevorzugen.

Beispiel für die Berechnung der Anpassungen in kodierten und in nicht kodierten Einheiten

Im Downloadbereich dieses Artikels haben wir Ihnen ein Minitab-Beispielprojekt zur Verfügung gestellt, in welchem die Berechnung der Anpassungen aus den kodierten / nicht kodierten Koeffizienten für ein Modell ohne Zentralpunkte und Blöcke mit dem Minitab-Rechner nachvollzogen haben. Die Spaltenformel der Spalte Anpassungen greift auf die Spalte Koeffizienten zu. Diese wiederrum greift, abhängig davon, ob der Versuchsplan in kodierten oder in nicht kodierten Einheiten angezeigt wird, auf die Spalte Koeffizienten (kE) oder Koeffizienten (nkE) zu. Die Spaltenformeln können Sie nachvollziehen, wenn Sie einen Doppelklick auf den grünen Haken oberhalb der jeweiligen Spalte machen.

Tipp: Immer wenn Sie Interesse an den Formeln zu jeweiligen Analyse in Minitab haben, navigieren Sie zur Seite Methoden und Formeln in der Minitab-Hilfe. Die Navigation ist auf der FAQ Wie finde ich Hintergrundinformationen zum Ergebnis meiner Analyse beschrieben.

Wie kann ich die Formel in kodierten Einheiten in die Formel in nicht kodierten Einheiten überführen?

Bei der Analyse des Versuchsplans im Downloadbereich dieses Artikels weiter unten erscheint ein Modell in kodierten Einheiten. Ab der Version Minitab 18 haben Sie die Möglichkeit, die Anzahl der Dezimalstellen in dieser Tabelle zu formatieren. Beispielsweise könnten Sie diese mit 16 Nachkommastellen angeben.

Kodierte Koeffizienten

Darunter wird ein Modell in nicht kodierten Einheiten ausgegeben:

Regressionsgleichung in nicht kodierten Einheiten

Um die Berechnung der Regressionsgleichung in nicht kodierten Einheiten nachzuvollziehen, könnten Sie sich zunächst die Form der Gleichung in nicht kodierten Einheiten aufschreiben:

f = α₀ + α_A A + α_B B + α_C C + α_AB A B + α_AC A C + α_BC B C

Hier ist α₀ die Konstante, und für jeden Term i ist α_i der dazugehörige kodierte Koeffizient. Mit Hilfe einer Umrechnung

m_{0, A} A + m_{1, A}

m_{0, B} B + m_{1, B}

m_{0, C} C + m_{1, C}

der Spalten in nicht kodierten Einheiten in die Spalten in kodierten Einheiten könnten Sie jetzt durch Einsetzen die entsprechenden nicht kodierten Koeffizienten β_i gewinnen:

g = α₀ + α_A (m_{0, A} A + m_{1, A}) + α_B (m_{0, B} B+m_{1, B}) + α_C (m_{0, C} C+m_{1, C}) + α_AB (m_{0, A} A + m_{1, A}) (m_{0, B} B + m_{1, B}) + α_AC (m_{0, A} A+m_{1, A}) (m_{0, C} C + m_{1, C}) + α_BC (m_{0, B} B + m_{1, B}) (m_{0, C} C + m_{1, C})

Ausmultiplizieren führt dann zu:

g = α₀ + α_A m_{0, A} A + α_A m_{1, A} + α_B m_{0, B} B + α_B m_{1, B} + α_C m_{0, C} C + α_C m_{1, C} + α_AB m_{0, A} m_{0, B} A B + α_AB m_{0, A} m_{1, B} A + α_AB m_{1, A} m_{0, B} B + α_AB m_{1, A} m_{1, B} + α_AC m_{0, A} m_{0, C} A C + α_AC m_{0, A} m_{1, C} A + α_AC m_{1, A} m_{0, C} C + α_AC m_{1, A} m_{1, C} + α_BC m_{0, B} m_{0, C} B C + α_BC m_{0, B} m_{1, C}B + α_BC m_{1, B} m_{0, C} C + α_BC m_{1, B} m_{1, C}

Erneutes Zusammenfassen nach Termen ergibt:

g = (α₀ + α_A m_{1, A} + α_B m_{1, B} + α_C m_{1, C} + α_AB m_{1, A} m_{1, B} + α_AC m_{1, A} m_{1, C} + α_BC m_{1, B} m_{1, C}) + (α_A m_{0, A} + α_AB m_{0, A} m_{1, B} + α_AC m_{0, A} m_{1, C}) A + (α_B m_{0, B} + α_AB m_{1, A} m_{0, B} + α_BC m_{0, B} m_{1, C}) B + (α_C m_{0, C} + α_AC m_{1, A} m_{0, C} + α_BC m_{1, B} m_{0, C}) C + α_AB m_{0, A} m_{0, B} A B + α_AC m_{0, A} m_{0, C} A C + α_BC m_{0, B} m_{0, C} B C

Für die Gleichung in nicht kodierten Einheiten

g = β₀ + β_A A + β_B B + β_C C + β_AB A B + β_AC A C + β_BC B C

folgt dann:

β₀ = α₀ + α_A m_{1, A} + α_B m_{1, B} + α_C m_{1, C} + α_AB m_{1, A} m_{1, B} + α_AC m_{1, A} m_{1, C} + α_BC m_{1, B} m_{1, C}

β_A = α_A m_{0, A} + α_AB m_{0, A} m_{1, B} + α_AC m_{0, A} m_{1, C}

β_B = α_B m_{0, B} + α_AB m_{1, A} m_{0, B} + α_BC m_{0, B} m_{1, C}

β_C = α_C m_{0, C} + α_AC m_{1, A} m_{0, C} + α_BC m_{1, B} m_{0, C}

β_AB = α_AB m_{0, A} m_{0, B}

β_AC = α_AC m_{0, A} m_{0, C}

β_BC = α_BC m_{0, B} m_{0, C}

Die kodierten Koeffizienten α_i können Sie der oberen Tabelle entnehmen. Die Achsenabschnitte m_{0, i} und Steigungen m_{1, i} ergeben sich aus den Hoch-Tief-Einstellungen des Versuchsplans:

Die Tief-Stufe wird mit -1 und die Hoch-Stufe mit 1 kodiert. Aus

m_{0, A}*80+m_{1, A}= -1

m_{0, A}*100+m_{1, A}= 1

folgt

m_{0, A} = 1/10

m_{1, A} = -9

Aus

m_{0, B}*2+m_{1, B} = -1

m_{0, B}*10+m_{1, B} = 1

folgt

m_{0, B} = 1/4

m_{1, B} = -3/2

Beim Term C, der Textwerte enthält und damit kategorial ist, sind

m_{0, C} = 1

m_{1, C} = -9

Wenn Sie diese Terme in die Gleichungen für die nicht kodierten Koeffizienten einsetzen, erhalten Sie:

β₀= -0,0207928741863632+3,0298821918131114*(-9)+4,9657265542897076*(-3/2)+(-1,9047696879897689)*0+(-3,0573198187265076)*(-9)*(-3/2)+(-0,0604589475398131)*(-9)*0+(1,9868651769395163)*(-3/2)*0 ≈ -76,012

β_A= 3,0298821918131114*(1/10)+(-3,0573198187265076)*(1/10)*(-3/2)+(-0,0604589475398131)*(1/10)*0 ≈ 0,76159

β_B= 4,9657265542897076*(1/4)+(-3,0573198187265076)*(-9)*(1/4)+(1,9868651769395163)*(1/4)*0 ≈ 8,1204

β_C= (-1,9047696879897689)*1+(-0,0604589475398131)*(-9)*1+(1,9868651769395163)*(-3/2)*1 ≈ -4,341

β_AB=(-3,0573198187265076)*(1/10)*(1/4) ≈ -0,076433

β_AC=(-0,0604589475398131)*(1/10)*1 ≈ -0,00605

β_BC= (1,9868651769395163)*(1/4)*1 ≈ 0,49672

Bitte vergleichen Sie das Ergebnis mit den Koeffizienten in der oben angezeigten Regressionsgleichung in nicht kodierten Einheiten.

Siehe auch

Determinante von Xt*X
Spur von X^t*X oder (X^t*X)^-1

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Beispiel zur Berechnung der Anpassungen mit Koeffizienten in kodierten / nicht kodierten Einheiten

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