Minitab 22 - Verteilungsidentifikation (Beliebige Zensierung) - Anderson-Darling-Werte scheinbar gleich groß bei vielen rechtszensierten Daten

• Erstellt am 29.8.2022
• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software: Minitab 22, 21

Die Verteilungsidentifikation (Beliebige Zensierung) führt für die folgende Tabelle mit 6 Ausfällen und 9994 Zensierungen bei den Verteilungen Weibull, Lognormal, Exponential und Normal zu Anderson-Darling-(kor)-Werten, die sich erst ab der siebenten Nachkommastelle unterscheiden:

Güte der Anpassung

Für die nächste Tabelle mit 6 Ausfällen und 999994 Zensierungen führt die Verteilungsidentifikation sogar zu Anderson-Darling-(kor)-Werten, die sich erst ab der elften Nachkommastelle unterscheiden:

Güte der Anpassung

Was ist der Grund hierfür?

Erläuterung

Die beiden Beispiele haben gemeinsam, dass durch die Rechtszensierung der allermeisten der Teile die nicht zensierten, also ausgefallenen Teile, in den Wahrscheinlichkeitsnetzen sehr weit auf der linke Seite der Kurve erscheinen, da die verteilungsfreie Methode zur Bestimmung ihrer Position für diese sehr geringe Wahrscheinlichkeiten schätzt. Das hat damit zu tun, dass die ausgefallenen Teile in diesen Beispielen die ersten ausgefallenen Teile sind (Ausfallzeitpunkt < 5) und die stark überwiegende Mehrheit der nicht ausgefallenen Teile erst zukünftig zu einem unbekannten Zeitpunkt ≥ 5 ausfallen werden.

Um daraus nachzuvollziehen, wie es zu den nahezu übereinstimmenden Anderson-Darling-(kor)-Werten kommt, haben wir für beide Beispiele die verteilungsfreien kumulierten Ausfallwahrscheinlichkeiten nach der Turnbull-Methode schätzen und speichern lassen. Wir haben in den folgenden Berechnungen die Bezeichnungen in den Formeln für die Anderson-Darling-Statistik der Online-Hilfe von Minitab übernommen. Die Forderung $F_n\left(z_0\right)=0$ haben wir in der ersten Zeile eingefügt.

Mit Hilfe der durch die Verteilungsgebundene Analyse in eine Spalte des Arbeitsblatts gespeicherten Verteilungsparameter haben wir die Werte für $z_i$ berechnet. Die Forderungen $z_0=0$ und $z_{n+1}=1-{10}^{-12}$ haben wir in der ersten beziehungsweise letzten Zeile der jeweiligen Spalte eingefügt. Hier scheint sich bereits abzuzeichnen, dass der verteilungsunabhängige Wert $z_{n+1}$ den größten Einfluss auf einbringt, den in der dazugehörenden Zeile 5 ist $\mathrm{Ln}\left(1-z_{n+1}\right)=-27.6310432$. Allerdings gibt es auch noch in den anderen Zeilen Werte, die sich deutlich von 0 unterscheiden. Die Werte für $\mathrm{Ln}\left(1-z_n\right)$ in Zeile 5 unterscheiden sich untereinander noch auf Grund der verschiedenen Verteilungen. Jedoch unterscheiden sie sich nicht sehr stark. Bei einer Verteilungsanpassung nach der Maximum-Likelihood-Methode werden die Parameter so geschätzt, dass die erhobene Stichprobe im Kontext der Verteilung möglichst wahrscheinlich ist. Insbesondere dürften dann die geschätzten Wahrscheinlichkeiten bei den beobachteten Ausfällen möglichst nahe an den verteilungsfrei geschätzten Werten liegen.

Beispiel 1

Beispiel 2

Die Werte in den Zeilen 1-4 verschwinden im nächsten Berechnungsschritt fast, hier scheinen sich jetzt nur noch die Werte in der Zeile 5 deutlich von 0 zu unterscheiden. Auch die Werte in der fünften Zeile scheinen sich verteilungsübergreifend kaum noch voneinander zu unterscheiden.

Beispiel 1

Beispiel 2