Minitab 22 - Allgemeiner vollfaktorieller Versuchsplan - Zusammenhang zwischen Koeffizienten und Angepassten Mittelwerten

• Erstellt am 3.3.2021
• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software: Minitab 22, 21, 20

Wie hängen bei einem allgemeinen vollfaktoriellen Versuchsplan die auf den Haupt- und Wechselwirkungsdiagrammen dargestellten angepassten Mittelwerte mit den Koeffizienten der Modellterme zusammen?

Erläuterung

Auf dem Haupteffektdiagramm der angepassten Mittelwerte werden die jeweiligen Mittelwerte der Anpassungen für jede Stufe eines Faktors angezeigt. Auf dem Wechselwirkungsdiagramm werden die jeweiligen Mittelwerte der Anpassungen für jede Kombination aus Stufen der beiden Faktoren gebildet, die zu der jeweiligen Wechselwirkung gehören.

Sei $\stackrel{-}{\mathrm{x}}$ der Gesamtmittelwert aller Anpassungen, ${\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A}}$ ein Vektor der angepassten Mittelwerte pro Stufe und ${\mathrm{coef}}_{\mathrm{A}}$ ein Vektor aus Koeffizienten eines Terms A. Dann ist

${\mathrm{coef}}_{\mathrm{A}}={\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A}}-\stackrel{-}{\mathrm{x}}$

Sei $\stackrel{-}{\mathrm{x}}$ der Gesamtmittelwert aller Anpassungen, ${\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A}}$ ein Vektor der angepassten Mittelwerte pro Stufe eines ersten Faktors A, ${\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{B}}$ ein Vektor der angepassten Mittelwerte pro Stufe eines zweiten Faktors B, wobei in der Matrix aus den Spaltenvektoren ${\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A}}$ und ${\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{B}}$ jede Kombination aus Stufenmittelwerten entsprechend der Reihenfolge der Stufen je einmal vorkommt, ${\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A},\mathrm{B}}$ der Vektor der angepassten Mittelwerte jeder Faktorstufenkombination der Faktoren A und B und ${\mathrm{coef}}_{\mathrm{A},\mathrm{B}}$ der Vektor aus den Koeffizienten der Wechselwirkungsterme von AB. Dann ist

${\mathrm{coef}}_{\mathrm{A},\mathrm{B}}={\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A},\mathrm{B}}-{\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A}}-{\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{B}}+\stackrel{-}{\mathrm{x}}$

Beispiel

Gegeben sei der folgende Versuchsplan.

↓
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8




 
StdRfolge
DlaufRfolg
Punkttyp
Blöcke
A
B
C
Antwort




1
15
1
1
1
1
2
1
12,1091




2
3
2
1
1
1
2
1
11,9162




3
10
3
1
1
3
1
2
-6,5075




4
14
4
1
1
1
1
2
4,0229




5
12
5
1
1
3
2
2
-4,0374




6
4
6
1
1
1
2
2
9,9312




7
5
7
1
1
2
1
1
1,5328




8
23
8
1
1
3
2
1
-1,9471




9
20
9
1
1
2
2
2
0,0180




10
19
10
1
1
2
2
1
1,9159




11
17
11
1
1
2
1
1
1,3618




12
7
12
1
1
2
2
1
2,1529




13
1
13
1
1
1
1
1
6,1123




14
2
14
1
1
1
1
2
3,9470




15
22
15
1
1
3
1
2
-6,4272




16
21
16
1
1
3
1
1
-4,6447




17
18
17
1
1
2
1
2
-0,4560




18
24
18
1
1
3
2
2
-3,9178




19
11
19
1
1
3
2
1
-1,9824




20
6
20
1
1
2
1
2
-0,5073




21
13
21
1
1
1
1
1
6,1108




22
9
22
1
1
3
1
1
-4,4669




23
8
23
1
1
2
2
2
0,1559




24
16
24
1
1
1
2
2
10,0101

Des Weiteren enthalte das anzupassende Modell die Terme A, B, C und A*B.

Das führt zu folgendem Ergebnis, wenn Sie die Erweiterten Tabellen als Ergebnis auswählen:

Koeffizienten

Die Faktordiagramme zeigen die folgenden angepassten Mittelwerte an.

Der Zusammenhang ergibt sich gemäß der oberen Formel zu

${\mathrm{coef}}_{\mathrm{A}}={\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A}}-\stackrel{-}{\mathrm{x}}=\left(\text{⁠}\begin{array}{c}\mathrm{8,01996}\\ \mathrm{0,77175}\\ -\mathrm{4,24139}\end{array}\text{⁠}\right)-\mathrm{1,51677}=\left(\text{⁠}\begin{array}{c}\mathrm{6,50318}\\ -\mathrm{0,745022}\\ -\mathrm{5,75816}\end{array}\text{⁠}\right)$

${\mathrm{coef}}_{\mathrm{B}}={\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{B}}-\stackrel{-}{\mathrm{x}}=\left(\text{⁠}\begin{array}{c}\mathrm{0,0065080}\\ \mathrm{3,02704}\end{array}\text{⁠}\right)-\mathrm{1,51677}=\left(\text{⁠}\begin{array}{c}-\mathrm{1,51027}\\ \mathrm{1,51027}\end{array}\text{⁠}\right)$

${\mathrm{coef}}_{\mathrm{C}}={\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{C}}-\stackrel{-}{\mathrm{x}}=\left(\text{⁠}\begin{array}{c}\mathrm{2,51422}\\ \mathrm{0,519326}\end{array}\text{⁠}\right)-\mathrm{1,51677}=\left(\text{⁠}\begin{array}{c}\mathrm{0,997448}\\ -\mathrm{0,997448}\end{array}\text{⁠}\right)$

${\mathrm{coef}}_{\mathrm{A},\mathrm{B}}={\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A},\mathrm{B}}-{\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{A}}-{\stackrel{-}{\mathrm{x}}}_{\mathrm{B}}+\stackrel{-}{\mathrm{x}}=\left(\text{⁠}\begin{array}{c}\mathrm{5,0483}\\ \mathrm{10,9916}\\ \mathrm{0,4828}\\ \mathrm{1,0607}\\ -\mathrm{5,5116}\\ -\mathrm{2,9712}\end{array}\text{⁠}\right)-\left(\text{⁠}\begin{array}{c}\mathrm{8,01996}\\ \mathrm{8,01996}\\ \mathrm{0,77175}\\ \mathrm{0,77175}\\ -\mathrm{4,24139}\\ -\mathrm{4,24139}\end{array}\text{⁠}\right)-\left(\text{⁠}\begin{array}{c}\mathrm{0,00651}\\ \mathrm{3,02704}\\ \mathrm{0,00651}\\ \mathrm{3,02704}\\ \mathrm{0,00651}\\ \mathrm{3,02704}\end{array}\text{⁠}\right)+\mathrm{1,51677}=\left(\text{⁠}\begin{array}{c}-\mathrm{1,46141}\\ \mathrm{1,46141}\\ \mathrm{1,22135}\\ -\mathrm{1,22135}\\ \mathrm{0,24007}\\ -\mathrm{0,24007}\end{array}\text{⁠}\right)$