Minitab 22 - Test von Anteilen, 1 Stichprobe - Warum erhalte ich manchmal unterschiedliche Schlussfolgerungen für den p-Wert und das Konfidenzintervall?

• Erstellt am 30.1.2024
• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software: Minitab 22, 21

Bei vielen Hypothesentests werden ein p-Wert und ein Konfidenzintervall angezeigt. Beispielsweise wird bei einem t-Test ein p-Wert als Wahrscheinlichkeit angegeben, dass man

• unter der Bedingung, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit gleich dem Hypothesenmittelwert ist, einen t-Wert erhält, der betragsmäßig mindestens so groß ist wie der für unsere Stichprobe beobachtete.

Gleichzeitig wird ein Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit um den Stichprobenmittelwert ausgegeben, dessen Länge vom kritischen t-Wert abhängt. Der kritische t-Wert für das 100*(1-α)%-Konfidenzintervall entspricht würde, wenn er als t-Wert für die Stichprobe beobachtet würde, zu einem p-Wert von α führen. Wenn also α das Signifikanzniveau und 100*(1-α)% das Konfidenzniveau ist, sind die Schlussfolgerungen äquivalent: Der p-Wert ist genau dann > 0,05, wenn das 95%-Konfidenzintervall den Hypothesenmittelwert enthält.

Im Gegensatz zum t-Test bei einer Stichprobe können die Schlussfolgerungen beim Test von Anteilen bei einer Stichprobe

• für den p-Wert und
• für das Konfidenzintervall

jedoch unterschiedlich ausfallen. Die Gründe dafür werden in diesem Artikel erläutert.

Erläuterung

Für den Test von Anteilen gibt es in Minitab zwei Optionen: Exakt und Normal-Approximation. In diesem Artikel werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:

Konfidenzintervall versus p-Wert

Der p-Wert wird verwendet, um zu entscheiden, ob sich p_S statistisch signifikant von p₀ unterscheidet oder nicht, das heißt ob H₀ verworfen wird oder nicht. Das Konfidenzintervall gibt eine Intervallschätzung für p_G bei einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit an.

Wir beginnen mit der Methode Normal-Approximation.

Normal-Approximation

Wenn Sie Normal-Approximation als Methode ausgewählt haben, wird p₀ zur Berechnung der Teststatistik z verwendet, und zwar als Verhältnis zwischen der Differenz p_S-p₀ und dem Standardfehler

$\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}$

der relativen Häufigkeiten in einer Grundgesamtheit, in der H₀ wahr ist.² Wenn also H₀ wahr wäre, würde man also eine Differenz von z Standardfehlern zwischen p_S und p₀ beobachten. Betragsmäßig größere z-Werte bedeuten eine betragsmäßig größere Differenz. Der p-Wert, das heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(|p_S-p₀| ist mindestens |z| Standardfehler |H₀ ist wahr)

wird mit Hilfe einer Standardnormalverteilung approximiert. Bei der Berechnung des Konfidenzintervalls wird hingegen p_S , aber nicht p₀ für den Standardfehler der relativen Häufigkeiten verwendet. Daher können aus dem p-Wert und dem Konfidenzintervall unterschiedliche Schlüsse gezogen werden.

Exakt

Es gibt keine Methode zur Berechnung exakter Konfidenzintervalle für binomialverteilte Anteile. Dafür gibt es zwei Gründe:

• Im Gegensatz zur Normalverteilung ist die Binomialverteilung keine stetige Verteilung.¹

• Die Varianz von p_S hängt vom Anteil in der Grundgesamtheit ab. Dieser ist aber unbekannt.²

Also werden Approximationen benötigt, um ein Konfidenzintervall für p_G zu konstruieren. Das Konfidenzintervall erlaubt daher auch hier in einigen Fällen eine andere Schlussfolgerung als der p-Wert.

Fußnoten

1Zum Vergleich: Der t-Test für den Mittelwert bei stetigen Daten verwendet die t-Verteilung, die mit der Normalverteilung verbunden ist. Die Idee ist, dass eine ausreichende Anzahl von Stichproben mit einem konstanten Stichprobenumfang N aus einer normalverteilten Grundgesamtheit gezogen wird und die t-Werte einer t-Verteilung mit N-1 Freiheitsgraden folgen. Beide Ausgaben, der p-Wert und das Konfidenzintervall für den t-Test der einen, von uns gezogenen Stichprobe, werden unter Verwendung dieser t-Verteilung berechnet.

2Der Varianz von p_S beim Test von Anteilen entspricht die Varianz der Mittelwerte für eine ausreichende Anzahl von Stichproben mit konstantem Stichprobenumfang N beim t-Test. Die Mittelwerte dieser Stichproben sind normalverteilt, und der Standardfehler des Mittelwerts ist ein Schätzer für die Standardabweichung der Mittelwerte. Der t-Wert der einen, von uns beobachteten Stichprobe, ist die Differenz aus dem Stichprobenmittelwert und dem Hypothesenmittelwert, geteilt durch den Standardfehler des Mittelwerts.