Mathematica 11.3 - Potenzreihe einer Funktion mit zwei Variablen

• Erstellt am 21.9.2018
• Überarbeitet am 26.8.2024
• Software: Mathematica 11.3

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Ich habe in Mathematica 11.3 die Funktion

f[x_,y_]:=Cos[x] Sin[y]

definiert. Der Befehl

fpol=Series[f[x,y],{x,0,3},{y,0,3}]

berechnet die Potenzreihenentwicklung um den Entwicklungspunkt 0 mit Restglied:

$\left(y-\frac{y^3}{6}+O{\left[y\right]}^4\right)+\left(-\frac{y}{2}+\frac{y^3}{12}+O{\left[y\right]}^4\right)x^2+O{\left[x\right]}^4$

Der Befehl

nfpol = Expand[Normal[fpol]]

entfernt die Restglieder und schreibt das Polynom in Form von Termen in Abhängigkeit von x^myⁿ auf.

$y-\frac{x^{2}y}{2}-\frac{y^3}{6}+\frac{x^2{y}^3}{12}$

Für jeden dieser Terme ist m ≤ 3 und n ≤ 3. Jedes Argument wird in dieser Darstellung bis zum dritten Glied entwickelt. Ich möchte jetzt von dieser Darstellung alle Terme in Abhängigkeit von x^myⁿ mit m + n > 3 entfernen. Wie kann ich das tun?

Erläuterung

Der Befehl

Select[nfpol, Exponent[# /. {x -> s, y -> s}, s] <= 3 &]

wählt aus dieser Summe die Teilsumme aus, in für jeden Term in Abhängigkeit von x^myⁿ gilt, dass m + n ≤ 3 ist:

$y-\frac{x^{2}y}{2}-\frac{y^3}{6}$

Die in diesem Ausdruck verwendete Ersetzungsregel {x -> s, y -> s} überführt jedes Produkt x^myⁿ in eine Potenz s^m+n. Der Befehl Exponent extrahiert aus dieser dann den Exponenten m+n, und der Befehl Select bildet schließlich die Teilsumme nach dem Kriterium m + n ≤ 3.