Minitab 22 - Median beim Wilcoxon-Test für eine Stichprobe

• Überarbeitet am 5.4.2024
• Software: Minitab 22, 21, 20, 19, 18, 17

Wie berechnet sich der Median beim Wilcoxon-Test für eine Stichprobe? Warum erhält man über Deskriptive Statistik anzeigen / speichern einen anderen Wert für den Median als über den Wilcoxon-Test für eine Stichprobe?

Erläuterung

Im Werkzeug Statistik: Statistische Standardverfahren: Deskriptive Statistik anzeigen wird der Median als der Wert

$x_{\frac{n+1}{2}}$

bei gerade Stichprobenumfänge n und als der Wert

$\frac{1}{2}\left(x_{n/2}+x_{n/2+1}\right)$

bei ungeraden Stichprobenumfänge n geschätzt, wobei hier x_i das i-te Element der Daten ist, nachdem diese aufsteigend nach Größe sortiert worden sind. Beispielweise entspricht der Median bei 9 Werten dem 5. Wert der sortierten Daten. Bei 10 Werten wäre der Median gleich dem Mittelwert des 5. + 6. Werts der sortierten Liste.

Beim Wilcoxon-Test für eine Stichprobe werden hingegen zunächst die sogenannten Walsh Averages berechnet. Dazu werden die Daten ebenfalls intern aufsteigend nach der Größe sortiert und dann die Mittelwerte von jeweils zwei Werten gebildet:

$\frac{1}{2}\left(x_i+x_j\right)$

für i ≥ j.

Daraus ergeben sich n*(n+1)/2 Werte. Aus diesen Werten wird dann der Median nach der oberen Formel berechnet.

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir den Datensatz

4, 2, 17, 3, 6, 11.

Sortiert man diese Liste aufsteigend, ergibt sich als neue Liste:

$\begin{array}{ccc}{x}_1& =& 2\\ x_2& =& 3\\ x_3& =& 4\\ x_4& =& 6\\ x_5& =& 11\\ x_6& =& 17\end{array}$

Der Stichprobenumfang ist n = 6. Das Werkzeug Deskriptive Statistik anzeigen berechnet den Median als

$\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{4+6}{2}=5$

Der Wilcoxon-Test für eine Stichprobe berechnet die Walsh Averages:

$\begin{array}{ccc}\frac{2+2}{2}& =& 2\\ \frac{2+3}{2}& =& 2.5\\ \frac{2+4}{2}& =& 3\\ \frac{2+6}{2}& =& 4\\ \frac{2+11}{2}& =& 6.5\\ \frac{2+17}{2}& =& 9.5\\ \frac{3+3}{2}& =& 3\\ \frac{3+4}{2}& =& 3.5\\ \frac{3+6}{2}& =& 4.5\\ \frac{3+11}{2}& =& 7\\ \frac{3+17}{2}& =& 10\\ \frac{4+4}{2}& =& 4\\ \frac{4+6}{2}& =& 5\\ \frac{4+11}{2}& =& 7.5\\ \frac{4+17}{2}& =& 10.5\\ \frac{6+6}{2}& =& 6\\ \frac{6+11}{2}& =& 8.5\\ \frac{6+17}{2}& =& 11.5\\ \frac{11+11}{2}& =& 11\\ \frac{11+17}{2}& =& 14\\ \frac{17+17}{2}& =& 17\end{array}$

Sortiert man diese Werte, so erhält man diese Liste:

$\begin{array}{ccc}{y}_1& =& 2\\ y_2& =& 2.5\\ y_3& =& 3\\ y_4& =& 3\\ y_5& =& 3.5\\ y_6& =& 4\\ y_7& =& 4\\ y_8& =& 4.5\\ y_9& =& 5\\ y_{10}& =& 6\\ y_{11}& =& 6.5\\ y_{12}& =& 7\\ y_{13}& =& 7.5\\ y_{14}& =& 8.5\\ y_{15}& =& 9.5\\ y_{16}& =& 10\\ y_{17}& =& 10.5\\ y_{18}& =& 11\\ y_{19}& =& 11.5\\ y_{20}& =& 14\\ y_{21}& =& 17\end{array}$

aus $\frac{6*(6+1)}{2}=21$ Werten.

Der geschätzte Median wird jetzt als

$y_{11}=6.5$

berechnet.