Minitab 22 - Parameterschätzung in der Verteilungsanalyse (Rechtszensierung)

• Erstellt am 28.12.2015
• Überarbeitet am 4.4.2024
• Software¹ : Minitab 22, 21, 20, 19, 18

Wie werden in Minitab bei der Verteilungsgebundenen Analyse für rechtszensierte Daten die Verteilungsparameter geschätzt?

Das entsprechende APS-Paket ist über unseren ADDITIVE Professional Service erhältlich. Um das Paket zu erhalten, kontaktieren Sie unseren Support per E-Mail an This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. oder per Telefon unter +49 6172 5905 20 jeweils unter Angabe der APS-Paketnummern 813 und 934.

Erläuterung

In den Werkzeugen

• Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung): Verteilungsidentifikation
• Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung): Verteilungsübersicht
• Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung): Verteilungsgebundene Analyse

können Sie bei der Schätzung der Verteilungsparameter zwischen zwei Schätzverfahren wählen:

• Maximum-Likelihood
• Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y)

Weibullverteilter Beispieldatensatz

↓
C1
C2-T


 
Stunden
Ausfall?


1
226
Ja


2
509
Ja


3
538
Ja


4
745
Ja


5
1000
Nein


6
1261
Ja


7
1375
Ja


8
1478
Ja


9
1540
Ja


10
1619
Ja


11
1655
Ja


12
1696
Ja


13
1741
Ja


14
1790
Ja


15
2000
Nein


16
2310
Ja


17
2326
Ja


18
2568
Ja


19
2867
Ja


20
3426
Ja

Maximum-Likelihood

Haben Sie als Schätzmethode Maximum-Likelihood ausgewählt, dann werden die Verteilungsparameter so geschätzt, dass diese unter Berücksichtigung der Zensierung die Likelihood- beziehungsweise Loglikelihood-Funktion für die Stichprobe maximieren.

Das APS-Paket Nr. 813 enthält ein Minitab-Projekt, in welchem wir den Loglikelihood-Wert für die Maximum-Likelihood-Schätzer dieses Datensatzes manuell nachgerechnet haben. Die Berechnungen können Sie durch einen Klick auf den grünen Haken über der jeweiligen Spalte nachvollziehen. Als Verteilung haben wir die Weibull-Verteilung ausgewählt. Wenn Sie Form- und Skalenparameter variieren, erhalten Sie kleinere Loglikelihood-Werte.

Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y))

Wenn Sie als Schätzmethode Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y)) ausgewählt haben, dann werden die Daten so transformiert, dass die Verteilungsanpassung in dieser Transformation zu einer Geraden würde, und die transformierten Daten werden dann linear angepasst. Am Beispiel-Datensatz erhalten Sie mit der Weibull-Verteilung die unten angezeigten Schätzer.

Statistik: Zuverlässigkeit/Lebensdauer: Verteilungsanalyse (Rechtszensierung): Verteilungsgebundene Analyse

Zensieren

Optionen

OK

Das Ergebnis der Schätzmethode können Sie, zum Beispiel unter Verwendung der Seite Methoden und Formeln in der Minitab-Hilfe zur Verteilungsanalyse (Rechtszensierung), folgendermaßen nachvollziehen. Bitte stellen Sie sicher, dass der Modus Ansicht: Befehlszeile/Verlauf aktiviert ist, damit Sie auf der rechten Seite die Befehlszeile sehen, und führen Sie diese Befehle in der Befehlszeile aus (Kommentarzeilen beginnen mit #).²

Name C3 "IR"
Let 'IR' = If('Ausfall?' = "Ja";Rank(-Stunden);'*')
Name K1 "AR_0"
Name K2 "AR_1"
Name K3 "AR_2"
Name K4 "AR_3"
Name K5 "AR_4"
Name K6 "AR_5"
Name K7 "AR_6"
Name K8 "AR_7"
Name K9 "AR_8"
Name K10 "AR_9"
Name K11 "AR_10"
Name K12 "AR_11"
Name K13 "AR_12"
Name K14 "AR_13"
Name K15 "AR_14"
Name K16 "AR_15"
Name K17 "AR_16"
Name K18 "AR_17"
Name K19 "AR_18"
Name K20 "IR_1"
Name K21 "IR_2"
Name K22 "IR_3"
Name K23 "IR_4"
Name K24 "IR_5"
Name K25 "IR_6"
Name K26 "IR_7"
Name K27 "IR_8"
Name K28 "IR_9"
Name K29 "IR_10"
Name K30 "IR_11"
Name K31 "IR_12"
Name K32 "IR_13"
Name K33 "IR_14"
Name K34 "IR_15"
Name K35 "IR_16"
Name K36 "IR_17"
Name K37 "IR_18"
Let 'IR_1' = 'IR'(1)
Let 'IR_2' = 'IR'(2)
Let 'IR_3' = 'IR'(3)
Let 'IR_4' = 'IR'(4)
# Der fünfte Wert ist zensiert und wird übersprungen.
Let 'IR_5' = 'IR'(6)
Let 'IR_6' = 'IR'(7)
Let 'IR_7' = 'IR'(8)
Let 'IR_8' = 'IR'(9)
Let 'IR_9' = 'IR'(10)
Let 'IR_10' = 'IR'(11)
Let 'IR_11' = 'IR'(12)
Let 'IR_12' = 'IR'(13)
Let 'IR_13' = 'IR'(14)
# Der 15. Wert ist zensiert und wird übersprungen.
Let 'IR_14' = 'IR'(16)
Let 'IR_15' = 'IR'(17)
Let 'IR_16' = 'IR'(18)
Let 'IR_17' = 'IR'(19)
Let 'IR_18' = 'IR'(20)
Let 'AR_0' = 0
Let 'AR_1' = ('IR_1'*'AR_0'+N('Stunden')+1)/('IR_1'+1)
Let 'AR_2' = ('IR_2'*'AR_1'+N('Stunden')+1)/('IR_2'+1)
Let 'AR_3' = ('IR_3'*'AR_2'+N('Stunden')+1)/('IR_3'+1)
Let 'AR_4' = ('IR_4'*'AR_3'+N('Stunden')+1)/('IR_4'+1)
Let 'AR_5' = ('IR_5'*'AR_4'+N('Stunden')+1)/('IR_5'+1)
Let 'AR_6' = ('IR_6'*'AR_5'+N('Stunden')+1)/('IR_6'+1)
Let 'AR_7' = ('IR_7'*'AR_6'+N('Stunden')+1)/('IR_7'+1)
Let 'AR_8' = ('IR_8'*'AR_7'+N('Stunden')+1)/('IR_8'+1)
Let 'AR_9' = ('IR_9'*'AR_8'+N('Stunden')+1)/('IR_9'+1)
Let 'AR_10' = ('IR_10'*'AR_9'+N('Stunden')+1)/('IR_10'+1)
Let 'AR_11' = ('IR_11'*'AR_10'+N('Stunden')+1)/('IR_11'+1)
Let 'AR_12' = ('IR_12'*'AR_11'+N('Stunden')+1)/('IR_12'+1)
Let 'AR_13' = ('IR_13'*'AR_12'+N('Stunden')+1)/('IR_13'+1)
Let 'AR_14' = ('IR_14'*'AR_13'+N('Stunden')+1)/('IR_14'+1)
Let 'AR_15' = ('IR_15'*'AR_14'+N('Stunden')+1)/('IR_15'+1)
Let 'AR_16' = ('IR_16'*'AR_15'+N('Stunden')+1)/('IR_16'+1)
Let 'AR_17' = ('IR_17'*'AR_16'+N('Stunden')+1)/('IR_17'+1)
Let 'AR_18' = ('IR_18'*'AR_17'+N('Stunden')+1)/('IR_18'+1)
Name C4 "AR"
Let 'AR'(1) = 'AR_1'
Let 'AR'(2) = 'AR_2'
Let 'AR'(3) = 'AR_3'
Let 'AR'(4) = 'AR_4'
# Die fünfte Zeile wird wegen der Zensierung übersprungen.
Let 'AR'(6) = 'AR_5'
Let 'AR'(7) = 'AR_6'
Let 'AR'(8) = 'AR_7'
Let 'AR'(9) = 'AR_8'
Let 'AR'(10) = 'AR_9'
Let 'AR'(11) = 'AR_10'
Let 'AR'(12) = 'AR_11'
Let 'AR'(13) = 'AR_12'
Let 'AR'(14) = 'AR_13'
# Die 15. Zeile wird wegen der Zensierung übersprungen.
Let 'AR'(16) = 'AR_14'
Let 'AR'(17) = 'AR_15'
Let 'AR'(18) = 'AR_16'
Let 'AR'(19) = 'AR_17'
Let 'AR'(20) = 'AR_18'

Die nächste Tabelle zeigt das Zwischenergebnis mit den Spalten IR (kurz für Inverse Range) und AR (kurz für Average Range).

↓
C1
C2-T
C3
C4


 
Stunden
Ausfall?
IR
AR


1
226
Ja
20
1.0000


2
509
Ja
19
2.0000


3
538
Ja
18
3.0000


4
745
Ja
17
4.0000


5
1000
Nein
 *
 *


6
1261
Ja
15
5.0625


7
1375
Ja
14
6.1250


8
1478
Ja
13
7.1875


9
1540
Ja
12
8.2500


10
1619
Ja
11
9.3125


11
1655
Ja
10
10.3750


12
1696
Ja
9
11.4375


13
1741
Ja
8
12.5000


14
1790
Ja
7
13.5625


15
2000
Nein
 *
*


16
2310
Ja
5
14.8021


17
2326
Ja
4
16.0417


18
2568
Ja
3
17.2813


19
2867
Ja
2
18.5208


20
3426
Ja
1
19.7604

Mit Hilfe der AR-Werte können Sie jetzt die Wahrscheinlichkeiten nach dem Median-Rank-Verfahren schätzen.

Berechnen: Rechner

Anmerkung: Berechnen Sie alternativ die Average-Rang- und Median-Rang-Werte mit Hilfe der interaktiven Exec-Datei APS-Paket Nr. 934.

Im nächsten Schritt folgen die Transformationen.

Berechnen: Rechner

Berechnen: Rechner

Statistik: Regression: Regression: Regressionsmodell anpassen

Speichern

Form- und Skalenparameter der Weibullverteilung können jetzt durch eine entsprechende Rücktransformation der Regressionskoeffizienten, die zum Beispiel in Spalte C8 gespeichert sind, geschätzt werden.

Bearbeiten: Befehlszeileneditor

Ergebnis

↓
C1
C2-T
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9-T
C10-T
C11


 
Stunden
Ausfall?
IR
AR
p
x
y
Koeff. der Geradengleichung
Bedeutung
Parameter
Schätzwert


1
226
Ja
20
1.0000
3.43%
5.42053
-3.35480
7.59661
Schnittpunkt mit der y Achse
Form
1.75035


2
509
Ja
19
2.0000
8.33%
6.23245
-2.44172
0.57131
Steigung
Skala
1991.43


3
538
Ja
18
3.0000
13.24%
6.28786
-1.95214






4
745
Ja
17
4.0000
18.14%
6.61338
-1.60881






5
1000
Nein
 *
* 

* 

* 

* 







6
1261
Ja
15
5.0625
23.35%
7.13966
-1.32477






7
1375
Ja
14
6.1250
28.55%
7.22621
-1.08997






8
1478
Ja
13
7.1875
33.76%
7.29845
-0.88693






9
1540
Ja
12
8.2500
38.97%
7.33954
-0.70560






10
1619
Ja
11
9.3125
44.18%
7.38956
-0.53954






11
1655
Ja
10
10.3750
49.39%
7.41156
-0.38424






12
1696
Ja
9
11.4375
54.60%
7.43603
-0.23628






13
1741
Ja
8
12.5000
59.80%
7.46221
-0.09277






14
1790
Ja
7
13.5625
65.01%
7.48997
0.04895






15
2000
Nein
 *
* 

* 

 *
 *






16
2310
Ja
5
14.8021
71.09%
7.74500
0.21587






17
2326
Ja
4
16.0417
77.17%
7.75191
0.38993






18
2568
Ja
3
17.2813
83.24%
7.85088
0.58012






19
2867
Ja
2
18.5208
89.32%
7.96102
0.80495






20
3426
Ja
1
19.7604
95.39%
8.13915
1.12423

Anmerkung: Wenn Sie Kleinste Quadrate (Ausfallzeit(X) nach Rang(Y) als Schätzmethode ausgewählt haben, erscheint im Wahrscheinlichkeitsnetz der Korrelationskoeffizient. Auch dieser kann mit Hilfe der Spalten x und y über das Haupmenü nachvollzogen werden (Statistik: Statistische Standardverfahren: Korrelation):

Korrelation nach Pearson für x und y = 0,975

Weitere Links

Wahrscheinlichkeitsnetz
Parameter Schätzmethoden (Beispiel Weibull Verteilung)
Standardabweichung in Wahrscheinlichkeitsnetzen (Lebensdaueranalyse versus Grafik-Menü)

Hinweis zur Exec-Datei: Bitte Stellen Sie vor dem ersten Aufruf der Exec-Datei sicher, dass der Ordner C:\Temp auf Ihrem Rechner existiert. Dieses Makro ist ein Beispiel für die Automatisierungsmöglichkeiten in Minitab. Trotz aller Sorgfalt übernehmen wir keine Gewährleistung für die Richtigkeit der Berechnungen und Ergebnisse.

1Wenn Sie Minitab 18 einsetzen, bitte beachten Sie die Hinweise in den Fußnoten.
2In Minitab 18 können Sie die Befehle mit dem Befehlszeileneditor übermitteln (Bearbeiten: Befehlszeileneditor oder Strg+L).