Minitab 22 - Beispiel für das Verwenden der Brush-Funktion - Suche einer Nullstelle einer Funktion auf einer Grafik

Erläuterung

In dem folgenden Bildschirmvideo zeigen wir am Beispiel des Polynoms

x² - 3 x + 1

einen Ansatz, den Sie in Minitab 19 (und höher) mit Hilfe der Brush-Funktion zur iterativen Suche der kleineren der beiden reellen Nullstellen dieses Polynoms ausprobieren könnten.

Bilder

Erläuterung

Bei einer aktiven Grafik steht für Sie auf der Symbolleiste Grafik-Bearbeitung die Brush-Funktion zur Verfügung. Mit Hilfe dieses Werkzeugs können Sie Datenpunkte auf der Grafik markieren. In diesem Artikel versuchen wir an einem Beispiel darzulegen, wie Sie mit Hilfe der Brush-Funktion die Nullstelle einer Funktion graphisch suchen könnten. Die Beispielfunktion, die wir betrachten, ist das Polynom

x² - 3 x + 1

Dieses Polynom hat zwei reelle Nullstellen. Gesucht ist die kleinere der beiden Nullstellen. Bitte probieren Sie den folgenden Ansatz aus!

• Bitte öffnen Sie ein neues Minitab-Projekt und benennen Sie Spalte C1 mit x und Spalte C2 mit y.
• Wählen Sie Berechnen: Daten mit Mustern erzeugen: Einfache Reihe von Zahlen aus dem Minitab-Hauptmenü.
• Füllen Sie das Dialogfeld Einfache Reihe von Zahlen so aus:
  
  

  Daten mit Muster speichern in:	'x'
  Vom ersten Wert:	-5
  Bis zum letzten Wert:	5
  In Schritten von:	0,1
  Jeden Wert wie oft aufführen:	1
  Jede Sequenz wie oft aufführen:	1

• Klicken Sie auf den Button OK.
• Wählen Sie Berechnen: Rechner aus dem Minitab-Hauptmenü.
• Aktivieren Sie im Minitab-Rechner die Checkbox Formel zuweisen und füllen Sie die Felder auf dem Dialogfeld so aus:
  
  

  Ergebnis speichern in:	'y'
  Ausdruck:	'x'^2-3*'x'+1

• Klicken Sie auf den Button OK.
• Wenn Sie jetzt die Spalte x mit neuen Werten füllen, wird die Formel automatisch auf die neuen Werte angewendet. Vergleiche hierzu den Artikel Tipps zum Arbeiten mit dem Minitab-Rechner.
• Wählen Sie Grafik: Streudiagramm aus dem Minitab-Hauptmenü.
• Aktivieren Sie die Option Einfach auf dem Dialogfeld Streudiagramme und klicken Sie anschließend auf den Button OK.
• Wählen Sie die Spalte y als Y-Variable und die Spalte x als X-Variable auf dem Dialogfeld Streudiagramm: Einfach.
• Klicken Sie auf den Button Skala.
• Navigieren Sie auf dem Dialogfeld Skala zum Tab Referenzlinien.
• Geben Sie den Wert 0 im Feld Referenzlinien bei Y-Werten anzeigen.
• Klicken Sie in beiden Dialogfeldern auf den Button OK, um das Streudiagramm zu erstellen.
• Bitte machen Sie auf dem neu erstellten Streudiagramm einen Rechtslick auf den Haken auf der oberen linken Seite.
• Aktivieren Sie die Option Automatische Aktualisierungen im erscheinenden Kontextmenü. Ein weiteres Beispiel, in welchem diese Option verwendet wird, finden Sie in den Artikeln
  
  • Grafik einer Teilmenge der Daten mit variabler Bedingung
  • Hinzufügen von Datensätzen in eine bestehende Grafik
• Klicken Sie in die Grafik, um diese zu aktivieren.
• Klicken Sie auf das Symbol für die Brush-Funktion aus dem Dialogfeld Grafikbearbeitung.
• Markieren Sie einen möglichst engen Bereich der Punkte um die erste Nullstelle mit dem Cursor. Nehmen Sie dabei Punkte vor und hinter dieser Nullstelle mit.
• Machen Sie einen Rechtsklick und wählen Sie die Option Identifikationsvariablen festlegen aus dem Kontextmenü.
• Wählen Sie im Dialogfeld Identifikationsvariablen festlegen die Variablen x und y aus und klicken Sie anschließend auf den Button OK.

Es erscheint jetzt ein Fenster mit dem Namen Markieren. Dieses zeigt an, dass in Zeile 54 der x-Wert 0,3 und der y-Wert 0,19 (> 0) und in Zeile 55 der x-Wert 0,4 und der y-Wert -0,04 (< 0) eingetragen sind. Die gesuchte Nullstelle liegt also zwischen 0,3 und 0,4. Sie können die Suche jetzt verfeinern, indem Sie die x-Werte aktualisieren.

• Bitte öffnen Sie dazu erneut das Dialogfeld Einfache Reihe von Zahlen und vergewissern Sie sich, dass dort die letzten Einstellungen für die Spalte x gesetzt sind.
• Ändern Sie den Eintrag im Feld Vom ersten Wert auf den Wert 0,3, den im Feld Bis zum letzten Wert auf den Wert 0,4 und den Eintrag im Feld In Schritten von auf den Wert 0,001.
• Klicken Sie erneut in die Grafik, und wählen Sie erneut die Brush-Funktion aus dem Dialogfeld Grafikbearbeitung, um erneut Punkte um die Nullstelle herum zu markieren.
• Im Fenster Markieren wird jetzt angezeigt, dass in Zeile 82 der x-Wert 0,382 und der y-Wert 0,002161 (> 0) und in Zeile 83 der x-Wert 0,383 und der y-Wert -0,000076 (< 0) eingetragen sind. Die gesuchte Nullstelle liegt also zwischen 0,382 und 0,383.

Wenn Sie auf der Symbolleiste Standard auf das Symbol Zuletzt verwendetes Dialogfeld bearbeiten klicken (oder alternativ die Tastenkombination Strg + E drücken, öffnet sich das Dialogfeld Einfache Reihe von Zahlen. Hier könnten Sie die Werte für x entsprechend abändern, um die Nullstellensuche weiter zu verfeinern.

Zum Vergleich: Berechnen der kleineren Nullstelle nach der p-q-Formel.

Wenn Sie zum Vergleich die kleinere Nullstelle nach der p-q-Formel berechnen möchten, könnten mit dem Minitab-Rechner den Ausdruck 1,5 - Sqrt(1,5^2 - 1) in die Spalte C3 speichern. Auf sechs Nachkommastellen gerundet ist das Ergebnis 0,381966.