Minitab 22 - Zuverlässigkeit/Lebensdauer mit einem Punkt - Fragen zum 50%-Perzentil

• Erstellt am 25.10.2019
• Überarbeitet am 9.4.2024
• Software: Minitab 22, 21, 20, 19

Wie berechne ich bei einer Verteilungsanalyse (Rechtszensierung) mit einem Punkt und der Weibullverteilung das 50%-Perzentil aus Form- und Skalenparameter?

Wenn ich unter Verwendung der Maximum-Likelihood-Schätzmethode und der Weibull-Verteilung eine Bayes-Analyse mit einem Punkt durchführe, stimmt grafisch das nicht-parametrische 50%-Perzentil nicht mit dem 50%-Perzentil der Weibull-Verteilung überein. Warum ist das so?

Zum Vergleich: Im Fall der LSXY-Methode stimmen diese Werte überein. Bitte beachten Sie aber, warum die Maximum-Likelihood-Schätzmethode die Standardmethode in Minitab ist: Weshalb ist MLE die Standardmethode in Minitab?

Anmerkung

Der Schätzer für den Skalenparameter aus dem Maximum-Likelihood-Verfahren ist hier zwar identisch mit dem Schätzer für das 50%-Perzentil aus der Methode der kleinsten Quadrate. Bitte beachten Sie aber, dass bei einer Weibull-Verteilung der Skalenparameter nicht identisch mit dem 50%-Perzentil ist. Diese scheinbare Übereinstimmung ist nur darauf zurückzuführen, dass nicht das gleiche Schätzverfahren angewandt wurde. Stattdessen ist der Skalenparameter das 63,2121%-Perzentil. Die inverse kumulierte Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung mit Formparameter α und Skalenparameter β, mit welcher die Perzentile der Weibullverteilung berechnet werden, ist nämlich

β (-Ln(1-p))^1/α

Für den Wert von p, für den das Perzentil von p genau β ist, ist dann

-Ln(1-p)=1

Also ist

p = 1-1/e ≈ 0,632121

Hier ist e die Eulersche Zahl.

Erläuterung

Das p-Perzentil der Weibull-Verteilung berechnet sich nach der Formel

β (-Ln(1 - p))^1/α

Für p = 50% ergibt sich dass 50%-Perzentil

β (-Ln(1/2))^1/α

beziehungsweise

β (Ln(2))^1/α

Position des Punktes auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz

Bei einem einzelnen Punkt x, der nicht zensiert ist, berechnet das Median-Rang-Verfahren die Position des Punkte auf der Skala der Wahrscheinlichkeiten nach der Formel

(i - 0,3) / (n + 0,4)

mit i = n = 1 an, das heißt mit

(1 - 0,3) / (1 + 0,4) = 0,7/1,4 = 0,5 ( = 50%)

Maximum-Likelihood-Verfahren

Bei der ML-Methode wird der Schätzer berechnet, der die Log-Likelihood-Funktion maximiert.

Bei einer einzelnen Beobachtung x > 0, einem Formparameter α > 0 und einem Skalenparameter β > 0 wird die Log-Likelihood-Funktion der Weibull-Verteilung nach der Formel

-x^α β^-α + (-1 + α) Ln(x) + Ln(α β^-α)

berechnet. Deren Ableitung nach β ist

-α/β + x^α α β^-1-α

Die Nullstelle dieser Ableitung in β für β > 0 und vorgegebenem α > 0 ist x. Wenn Sie x wieder in die Gleichung einsetzen, erhalten Sie

-α/x + x^α α x^-1-α = -α/x + α / x = 0.

Einsetzen der Nullstelle β = x in die zweite Ableitung

α/β² + x^α (-1 - α) α β^-2-α

ergibt

α/x² + x^α (-1 - α) α x^-2-α = α/x² + (-1 - α) α/x² = α/x²(1 - 1 - α) = -α²/x² < 0,

sodass diese Nullstelle der ersten Ableitung ein lokales Maximum der Likelihood-Funktion ist. Bei unserem Datensatz ist also

β = x = 10

und das 50%-Perzentil

β (Ln(2))^1/α = 10 (Ln(2))^1/2 ≈ 8,32555

gemäß der Maximum-Likelihood-Methode.

Methode der kleinsten Quadrate LSXY

Bei der LSXY-Methode wird die Gerade auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz angepasst, der den Abstand zum Punkt in X-Richtung minimiert. Bei einem Punkt wird mit Median-Rank die Lage des Punktes mit 50% geschätzt und daher die Wahrscheinlichkeit so angepasst, dass das 50%-Perzentil der Punkt ist (Summe der kleinsten Quadrate in X-Richtung = 0).

Die Methode der kleinsten Quadrate LSXY passt bei einer einzelnen Beobachtung x > 0, einem vorgegebenen Formparameter α > 0 und einem zu schätzenden Skalenparameter β > 0 die Gerade im Wahrscheinlichkeitsnetz als scheinbaren linearen Fit so an die Daten an, dass die Summe der kleinsten Fehlerquadrate in x-Richtung minimal wird. Die kumulative Wahrscheinlichkeit ist

1 - Exp(-(x/β)^α)

Das Auflösen der Gleichung

1 - Exp(-(x/β)^α) = p

nach β führt zu

β = x/(-Ln(1 - p))^1/α

Für p = 50% und vorgegebenem α > 0 gibt es also einen Wert β > 0, sodass der Punkt (x, 50%) genau auf der Kurve liegt, die Summe der kleinsten Quadrate also gleich 0 ist, nämlich

β = x/(-Ln(1/2))^1/α

beziehungsweise

β = x/(Ln(2))^1/α

In unserem Datensatz ist

β = 10/(Ln(2))^1/2 ≈ 12,0112

Siehe auch

Parameterschätzung in der Verteilungsanalyse (Rechtszensierung)